Dunia Angka: BARISAN DAN DERET

BARISAN ARITMATIKA

U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂- U₁ = U₃- U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
U₁, U₂, U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
= 1/2 n[2a+(n-1)b]
= 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1) dst.
S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b

BARISAN GEOMETRI

U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika

U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = U_n / U_n-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , .......ar^n-1
U₁, U₂, U₃,......,U_n

Suku ke n U_n = ar^n-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
DERET GEOMETRI

a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
= a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
U_n> U_n-1
Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
U_n < U_n-1

Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
_______ __________
Ut = Ö U₁xU_n = Ö U₂ X U_n-1 dst.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U₁ + U₂ + U₃ + ..............................

å Un = a + ar + ar² .........................
n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar²+ ar³+ ar⁴+ .................

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar²+ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M₀, M₁, M₂, ............., M_n
M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀
M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® Mⁿ = {1 + P/100 (n) } M₀

Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M₀, M₁, M₂, .........., M_n
M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀
M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀
Keterangan :
M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Barisan dan deret Aritmatika

BARISAN
Yang namanya barisan adalah berjajar, kalo gak menyamping yaaaaa kebelakang tetapi dalam matematika barisan ini terjadi pada angka dan variable.

contoh paling sederhana adalah barisan bilangan ganjial; 1,3,5,7 ......

pola diatas dapat ditulis dengan

U1 = suku pertama (atau biasa dibuat dengan variabel a)
U2 = Suku ke-2
Un = suku ke-n

kenapa disebut barisan???
kalu saia menyebut karena bilangan tersebut memiliki irama. weekss irama.... yaaaaaa iramanya seperti ini;
antara angka 1 dan 3 terdapat beda (b) yaitu 3 - 1 =2 begitupun antara 3 dan 5 terdapat beda yang sama yaitu 2 (5 - 3 = 2) dan seterusnya sampai suku ke-n memiliki beda yang konstan sehinggarumusnya ditulis

dan untuk mencari beda dengan rumus

Ket : b = beda
Un = suku ke-n
Un-1 = satu suku sebelumnya
sehingga *masih mengacu pada barisan contoh diatas
U1 = a = 1
U2 = (a + b) = 1 + 2 = 3 *ingat b adalah beda
U3 = (a + 2b) = 1 + 2.2 = 5
U4 = (a + 3b) = 1 + 3.2 = 7

dan dapat disimpulkan jika mencari suku ke-n (Un) adalah

misal untuk mencari suku berikutnya adalah suku ke-5 maka;
U5 = a + (n-1)b
= 1 + (5-1)2
= 1 + 8 = 9
kalo suku ke-6
U6 = a + (n-1) b
= 1 + (6 - 1) 2
= 1 + 10
= 11
kalo suku ke-7
U7 = .........................
= ..........................
= ..........
isi sendiri yaaaaaaaaa.. buat latihan kamu dirumah
sudah sedikit mudengkan????.......
nah pada umumnya bentuk deret seperti berikut

DERET
jika barisan bentuk umumnya seperti diatas maka bentuk deret bentuk umumnya seperti :

atau

** hayooo tau nggak perbedaannyaaaaaaa dengan BARISAN..... ya... kalu kita liat perbedaanya hanya pada tanda plus dan komanya saja. hehehehheheh

keterangannya sama dengan barisan *gak usah dijelaskan lagi yaaaaa

dalam deret aritmatika terdapat jumlah suku...
berlaku rumus;

sehingga